Черновик

Многопараметрический радиоактивный каротаж.

Опыт решения обратной задачи.

Кадисов Е.М., Танцов П.Н., Тепляков А.В., Соколов С.В.

Резюме.

Для правильного определения содержания элементов в пласте с помощью спектрометрического импульсного нейтронного гамма-каротажа необходимо корректно учесть гамма-излучение, которое рождается в элементах конструкции скважины. В жидкости, окружающей прибор, в стальной колонне и в цементе. Зависимости соответствующих функций от значимых параметров получаются с помощью моделирования методом Монте Карло. Поскольку полное покрытие пространства геолого-технических параметров невозможно, потребовалось разработать метод построения представительной выборки. Для преодоления противоречия между максимально полным использованием данных, получаемых из обработки спектров, и обусловленностью соответствующих систем уравнений, применяется факторный анализ, который позволил стандартизовать и упростить получение, встраивание и проверку правильности работы полиномов, описывающих искомые функциональные зависимости. Применённый в своей простейшей форме факторный анализ привёл к существенному снижению точности части полученных функций. После добавления к уже используемым входным данным таких их комбинаций, которые наиболее коррелируют с искомыми величинами, большинство переходных коэффициентов стали определяться достаточно хорошо, но переходные коэффициенты для зоны цемента грозили обесценить точность остальных коэффициентов. Оказалось, что если к переходным коэффициентам добавить отношения их друг к другу, то ошибки определения снижаются до приемлемого уровня. В приложении даётся краткий обзор состояния метрологического обеспечения АПК.

Введение.

Определение содержания химических элементов, составляющих исследуемый пласт, и других параметров пласта по результатам измерений при многопараметрическом радиоактивном каротаже (МПРК), в общем случае, является некорректно поставленной обратной задачей. Дело в том, что полученных при измерениях данных может оказаться недостаточно для того, чтобы полностью восстановить все геолого-технические параметры, от которых зависят измеренные спектры.

Задача может стать корректно поставленной, если ввести в неё некоторые ограничения. Скважина не слишком большого диаметра, конструкция скважины не слишком сложная и исследуемые пласты достаточно мощные и однородные, нет зоны проникновения в пласт промывочной жидкости. Тогда данных, получаемых при многопараметрическом радиоактивном каротаже, окажется достаточно, чтобы полностью восстановить набор геолого-технических параметров, определяющих измеренные спектры, и состав пласта.

В той части разреза, где нарушаются требования по мощности и однородности пласта, будет получаться решение, эквивалентное некоторому усреднению параметров пласта или введению некоторой регуляризации.

Большинство геофизических методов исследования скважин дают недостаточное количество информации для корректного решения обратной задачи.

Принимая эту ситуацию как данность, пользуются комплексной интерпретацией. Каротажные диаграммы, получаемые несколькими методами по результатам измерений в скважинах, согласовывают друг с другом и тем или иным способом (например, методом двойного разностного параметра) приводят к предполагаемым диапазонам измерений соответствующих величин. Но даже операторы высочайшей квалификации, которые сочетают компетенции как в методах каротажа, так и в геологических объектах, в которых выполнены измерения, несвободны от того факта, что названное приведение к диапазонам измерения предполагает линейные масштабные преобразования, тогда как преобразования должны быть нелинейными. Нелинейность возникает из-за того, что при изменении, например, пористости или сечения поглощения пласта изменяются относительные вклады излучения из различных пространственных зон конструкции скважины.

Данная работа направлена на то, чтобы, с одной стороны, разрабатываемый метод МПРК позволил существенно снизить требования к оператору-обработчику, а, с другой стороны, позволял по возможности корректно решать задачу определения характеристик исследуемого пласта.

Количество информации, которое получается в результате работы скважинного прибора при МПРК, даёт основание предположить, что данный метод геофизических исследований скважин поднимает их на столь высокий качественный уровень, что здесь мы имеем полное решение обратной задачи.

Для того, чтобы предположение сменилось уверенностью, с одной стороны, требуется, чтобы количество определяемых величин было достаточным для решения соответствующей системы уравнений. С другой стороны, необходимо, чтобы эта система уравнений была хорошо обусловлена.

Если выполнение первого условия можно проверить, как говорится, подсчётом на пальцах, то о выполнении второго условия можно будет узнать, лишь доведя до конца данную работу.

Предпосылки.

Оценим информационные возможности метода МПРК путём сравнения количества получаемых в результате измеряемых величин с количеством неизвестных задачи.

Геометрия исследуемого пласта, пересечённого обсаженной скважиной, описывается четырьмя пространственными зонами, расположенными вокруг скважинного прибора. Это скважинная жидкость, обсадная колонна, цементный камень и исследуемый пласт.

Каждая такая зона, помимо геометрических параметров имеет характеристики, влияющие на распространение нейтронов и гамма-квантов. Три диаметра, четыре плотности, четыре длины замедления быстрых нейтронов, четыре макроскопических сечения поглощения тепловых нейтронов и четыре коэффициента диффузии тепловых нейтронов. Всего 19 параметров. Если учесть, что для обсадной колонны часть параметров коррелируют, реальное число независимых параметров не больше 17 или 18.

В некоторых случаях нам известна часть этих параметров. Например, в одной скважине нам может быть известен диаметр обсадной колонны. В других случаях в нашем распоряжении могут быть результаты кавернометрии. Иначе говоря, нам будет известен диаметр скважины. В некоторых случаях нам будут известны такие параметры, как количество нефти в скважинной жидкости или её солёность или солёность цемента.

Однако, по сравнению с общим количеством неизвестных параметров отдельные известные не меняют ситуацию по существу. Большинство геолого-технических параметров будут оставаться неизвестными.

Из соображений эффективности нет смысла все такие случаи рассматривать отдельно. В процессе решения задачи будет видно, в какой степени, используя эту дополнительную информацию, можно будет снизить ошибки определения каких именно параметров.

Сравним число неизвестных задачи с количеством величин, получаемых с помощью МПРК.

Для этого дадим краткое описание работы аппаратуры с точки зрения её информационных возможностей.

Генератор нейтронов излучает быстрые нейтроны отдельными вспышками, которые организованы в цуги по 48 вспышек. Цуги вспышек чередуются паузами. Паузы занимают одну четверть времени, а цуги три четверти.

Гамма-излучение, возникающее в результате взаимодействия нейтронов с ядрами атомов веществ, находящихся в исследуемом пласте, а также в конструктивных элементах скважины, регистрируется двумя спектрометрическими детекторами. Во время вспышки преимущественно регистрируется гамма-излучение, возникающее при неупругих столкновениях быстрых нейтронов с ядрами атомов (ГИНР), в промежутках между ними регистрируется гамма-излучение, возникающее при радиационном захвате тепловых нейтронов (ГИРЗ). Кроме того есть гамма-излучение естественной (ГИЕР) и наведённой (ГИНА) радиоактивности.

Дальнейшие сведения даются применительно к новой диаграмме работы аппаратуры. Новая диаграмма была разработана с учётом всех новых возможностей. Это, с одной стороны, программируемые микросхемы, взявшие на себя логику работы аппаратуры. С другой стороны, это программное обеспечение, выполняющее обработку спектрометрической информации. Важно также, что программа обработки должна использовать функциональные зависимости, получаемые современным моделированием методом Монте-Карло.

Всего регистрируются 14 амплитудных (по 7 на каждый детектор) и 6 временных спектров (по 3 на каждый детектор).

На следующем рисунке показаны совместно два временных спектра. В левой половине рисунка спектр в паузе, в правой половине спектр в цуге. Также показано, какие амплитудные спектры измеряются в каких временных интервалах. Границы временных окон показаны с помощью вертикальных линий.

Д алее в скобках даны номера спектров, измеряемых дальним детектором. Так, спектр S0 (S8) измеряется в первой четверти паузы, спектр S1 (S9) измеряется во второй четверти паузы, спектр S2 (S10) измеряется во второй половине паузы, спектр S3 (S11) измеряется во второй половине интервала между вспышками, спектр S4 (S12) во всём интервале между вспышками, спектр S5 (S13) во время вспышки, S7 (S15) в первой четверти интервала между вспышками. Таким образом, есть интервалы времени, когда импульсы регистрируются сразу в двух амплитудных спектрах, а до и после времени, предназначенного для регистрации спектра S5 (S13) есть зазоры (длительностью по 4,75 мкс), во время которых импульсы не попадают ни в какие амплитудные спектры.

Во время паузы измеряются (каждым детектором) один временной спектр и три амплитудных. Это позволяет, с одной стороны, определить и вычесть суммарный спектр ГИЕР и ГИНА, а, с другой стороны, получить для временного анализа начальное приближение как временного параметра, так и амплитуды пластовой (медленной) компоненты ГИРЗ.

Во время цуга измеряются (каждым детектором) два временных спектра. Один, охватывающий все 48 вспышек, и другой, охватывающий первые 12 вспышек. Это позволяет получить для временного анализа начальные приближения для скважинной (быстрой) компоненты временного распределения ГИРЗ. Кроме того, анализ пика во временном спектре во время нейтронной вспышки, даёт достаточно информации для определения интегралов ГИНР и ГИРЗ, зарегистрированных каждым детектором. Дополнительно, сравнение интегралов по всем 48 вспышкам и по первым 12, позволяет получить дополнительную информацию о структуре скважинной компоненты ГИРЗ. Сравнение интегралов ГИРЗ, полного и зарегистрированного во время окна, предназначенного для регистрации ГИНР, позволяет получить спектр ГИНР, очищенный от ГИРЗ.

Таким образом, в дальнейшем программа обработки каротажной информации работает с чистыми спектрами ГИНР и ГИРЗ.

От каждого детектора во время цуга получаются один спектр ГИНР и три спектра ГИРЗ. У этих спектров есть такие характеристики как интегралы, но они ещё разлагаются на компоненты, пропорциональные стандартным спектрам.

Ниже коэффициенты, с которыми стандартные спектры входят в измеренный спектр, мы будем называть откликами. Как спектры, измеряемые в паузе, позволяют отделить от излучения ГИРЗ фоновое излучение (ГИЕР + ГИНА), так и спектры, расположенные по разному во времени по отношению к нейтронной вспышке, помогают разделить излучение, возникающее в исследуемом пласте, от излучения, возникающего в скважине.

Из операции разделения ГИНР и ГИРЗ мы получаем 10 интегральных величин —- полных из временного анализа и частичных — из интегралов по 3-му, 4-му и 7-му спектрам (11, 12, 15 для дальнего детектора).

Из временного анализа мы получаем как минимум две величины, характеризующие скорость спада компонент временного распределения и 4 соответствующие амплитуды.

Таким образом, из одного лишь анализа временных распределений и подсчёта интегралов по амплитудным спектрам, мы имеем 16 измеряемых параметров, что лишь немногим меньше числа неизвестных параметров, определяющих полное решение задачи.

Из отношений интегралов ГИНР и ГИРЗ, регистрируемых двумя детекторами, получаются ещё три параметра, характеризующих уже пространственные распределения ГИНР и ГИРЗ: это характерная длина, получаемая по ГИНР, такая же длина по ГИРЗ и длина миграции подпороговых нейтронов до их поглощения. Подпороговыми здесь названы те нейтроны, энергия которых в процессе замедления снизилась под порог неупругих взаимодействий, т. е. настолько, что они более не вступают в неупругие столкновения.

Всего получается 25 интегральных величин.

Таким образом, если пользоваться лишь интегральными величинами и результатами временного анализа, то мы почти не имеем превышения числа известных над числом неизвестных.

Поэтому, посмотрим, что получится, если добавить результаты амплитудного анализа. С одной стороны, растёт число неизвестных, а с другой стороны увеличивается число известных.

В следующую таблицу сведены химические элементы, концентрации которых в названных выше пространственных зонах требуется определить. По каждому элементу дано количество неизвестных. Так, такие элементы, как водород, углерод или кислород имеются в скважинной жидкости, в цементе и в пласте, а, например, железа или магния нет в скважинной жидкости.

Таблица 1.

Всего добавляются 30 неизвестных.

Выше уже упомянуты отклики элементов в том или ином спектре. Уточним здесь, что мы будем называть откликом элемента коэффициент пропорциональности, с которым стандартный спектр этого элемента входит в измеренный спектр. Стандартные спектры получаются путём специального моделирования методом Монте-Карло. На рисунке показаны некоторые стандартные спектры.

Для элементов, которые имеют отклики только в спектрах ГИНР, (как кислород и углерод) мы имеем по два отклика, для элементов, которые имеют отклики только в спектрах ГИРЗ мы имеем по 6 откликов, для таких элементов, которые имеют отклики как в спектрах ГИНР, так и в спектрах ГИРЗ, мы имеем по 8 откликов.

В следующую таблицу сведены отклики названных выше химических элементов, определяемые по спектрам различных типов.

Таблица 2.

Всего добавляются 70 определяемых параметров.

Итак, к ранее названным 19 неизвестным добавляются ещё 30 неизвестных (получается всего неизвестных величин 49), а к ранее названным 25 определяемым параметрам добавляются ещё 70 (итого измеряемых параметров 95).

Добавим сюда 6 оценок площади пика бора и 6 интегралов из временного анализа первой четверти цуга.

С учётом того, что сумма концентраций элементов в каждой геометрической зоне равна 100 процентам, к определяемым параметрам добавляются ещё 4. Оценки показывают, что к таким дополнительным параметрам добавятся ещё 4 величины плотности для каждой геометрической зоны.

Таким образом, количество известных параметров в задаче (115) существенно превышает число неизвестных переменных (49), что делает её принципиально решаемой.

Неизвестным остаётся вопрос обусловленности нашей задачи. Если число обусловленности окажется слишком большим, то ошибки измерения при переходе в ошибки решения задачи возрастут настолько, что её решение станет бессмысленным.

Этим исчерпываются предпосылки методические. Теперь перейдём к предпосылкам техническим.

Важной предпосылкой для решения данной задачи оказался ввод в эксплуатацию в нашем Институте вычислительного кластера, имевшего в своём составе почти 500 процессоров. К настоящему времени кластер стал в несколько раз более производительным. И хотя он работает не только на решение нашей задачи, но важно то, что мы могли пользоваться достаточно большим количеством процессоров, моделируя сразу десятки, а то и сотни вариантов одновременно.

Постановка задачи.

Будем называть переходным коэффициентом, коэффициент пропорциональности между концентрацией элемента в данной геометрической зоне и его долей в отклике этого элемента в данном спектре.

После того, как выполнены амплитудный и временной анализы, полученные параметры используются для расчёта полиномов, определяющих переходные коэффициенты и некоторые дополнительные величины, составляется и решается система минералогических уравнений, дополненная уравнениями баланса.

Задача, которая ставится перед расчётами методом Монте Карло и системой сжатия получаемой в результате информации, состоит в том, чтобы построить функции, описывающие связи переходных коэффициентов с измеряемыми при МПРК параметрами с и величинами, входящими в уравнения баланса.

Плотное покрытие пространства геолого-технических параметров (ПГТП) практически невозможно, поэтому требуется разработать способ построения достаточно представительного множества точек в ПГТП. Построить два таких множества. По одному из них получить названные выше функции, а по второму их проверить.

Следующая задача состоит в том, чтобы полученные функции перенести из математического мира в мир (гео)физический.

Для этого в первую очередь требуется поправить фоновые спектры прибора для ГИНР обоих детекторов. Это можно сделать, например, по спектрам ГИНР, полученным по измерениям, когда прибор окружён полиэтиленом.

Поскольку в спектрах ГИНР значительную долю составляет спектр кислорода, возможно, потребуется поправить и его. Это можно сделать по измерениям в воде после того, как поправлен фоновый спектр.

Теперь следует проверить полученные функции на модельных измерениях и/или на хорошо документированных скважинах. К сожалению нет моделей, которые адекватно воспроизводят условия в пласте, пересечённом скважиной. Соответствующий анализ и предложения по строительству адекватных задаче моделей см. в приложении.

Хотя с помощью специальных расчётов, которые учтут влияние дополнительных труб между цементом и пластом, которые имеются в моделях и искажают поля нейтронов и гамма-квантов, можно добиться согласия расчётов с измерениями, это не будет проверкой основного корпуса полиномов, предназначенных для обработки результатов в скважинах.

Поэтому реальная проверка правильности полученных в результате данной работы полиномов, представляет отдельную задачу. Для этого будут выполнены измерения в таких средах, как

Этапы работы.

Как видно из вышесказанного, полное пространство параметров слишком велико для того, чтобы его можно было полностью моделировать. Так, если по каждому параметру, иначе говоря, по каждой координате пространства геолого-технических параметров (ПГТП) взять по пять или хотя бы три точки, то таких точек оказывается 5⁴² = 2,274*10²⁹ или 3⁴² = 1,094*10²⁰ точек. Даже, если ограничиться только интегральными параметрами, не учитывая различия в химическом составе, то это будут 1,907*10¹³ и 1,162*10⁹ точек. Будем называть, как это принято в статистике, полное множество генеральной совокупностью.

В работе выделяются следующие этапы. Доработка имеющейся в нашем распоряжении программы моделирования с набором соответствующих утилит, позволяющих вести массовые расчёты. Разработка способа построения множества, представительного по отношению к выбранной генеральной совокупности. Использование способов многомерной нелинейной регрессии для получения полиномов, описывающих функциональные зависимости.

Для того, чтобы пройти между Сциллой большого количества данных и Харибдой допустимого уровня числа обусловленности, сама эта последняя работа естественным образом разбилась на следующие этапы. Для того, чтобы уменьшить распространение ошибок, входные данные центрируются. С помощью полиномов рассчитываются лишь отклонения от среднего, а средние, в основном, берут на себя свободные члены полиномов. С той же целью производится масштабирование входных данных.

Важным был также выбор инструмента для решения систем большого числа уравнений. Но особенно важным этапом стала адаптация для этой работы факторного анализа, который кардинально разрешает противоречие между большим количеством данных и допустимым уровнем числа обусловленности.

Доработка программы моделирования.

Для моделирования методом Монте Карло мы пользуемся программой MCNP, которая разработана в Лос Аламосе США.

Программа MCNP, в основном рассчитана на моделирование работы ядерного реактора. И хотя она вполне годится для получения амплитудных спектров, но в таком режиме она не позволяла использовать наиболее эффективные методы снижения дисперсии.

Поэтому программа моделирования была модифицирована так, чтобы можно было получить результат с приемлемой точностью за приемлемое время. Эта работа в своё время была выполнена С.А.Трещалиным. Для ближнего детектора модификация позволила сократить время расчёта в несколько десятков раз, а для дальнего детектора не менее 200 раз.

Для постановки расчётов в больших количествах необходимо было существенно сократить ручной труд при составлении входных файлов для программы моделирования.

Для этого были разработаны система кодирования вариантов и компьютерная программа, которая по коду варианта компилирует входной файл для программы моделирования.

Первоначально для разделения ГИНР и ГИРЗ естественным образом использовалось время, прошедшее с момента рождения быстрого нейтрона.

Моделирование показало, что в регистрируемом излучении ГИРЗ имеются короткоживущие компоненты, которыми нельзя пренебречь, но которые маскируются при длительности фронтов нейтронных генераторов, имеющихся в нашем распоряжении.

Следовательно, целесообразно разделение ГИНР и ГИРЗ в расчётах выполнять аналогично тому, как это делается при обработке каротажных измерений. Для этого программа моделирования была дополнительно модифицирована. Потребовалось учесть особенности работы аппаратуры, вплоть до повторения формы нейтронных импульсов с учётом их последовательности, интервалов между ними и пауз между цугами импульсов.

Теперь программа моделирования выдаёт на выходе специально организованный файл, а другая программа компилирует из этого файла файл, аналогичный тому, который выдаёт аппаратура при каротаже.

Разработка способа построения представительного множества.

Задача состоит в том, чтобы найти способ получения множества, достаточно представительного по отношению к генеральной совокупности. Такого множества, результаты моделирования в котором не будут значимо отличаться от результатов моделирования по генеральной совокупности.

Для этого было выбрано геолого-техническое пространство меньшей размерности, то есть с меньшей генеральной совокупностью, такое, которое можно было бы покрыть полностью или почти полностью. Затем из этой генеральной совокупности взята некоторая выборка. Показано, что функции, построенные по выборке, не дают значимых отклонений в применении к генеральной совокупности.

После того, как мы получили метод построения представительной выборки, возникает вторая задача, которая состоит в том, чтобы получить две непересекающиеся выборки и, если функции, полученные по обучающей выборке, не дадут значимых отклонений при применения к проверочной выборке, то, можно считать, что обе выборки представительны по отношению к генеральной совокупности. Более того, такая проверка одновременно даёт и ответ на вопрос о том, достаточно ли хорошо обусловлена система уравнений, описывающих нашу задачу.

На этом этапе сравнивались расчёты на множествах из примерно трёх тысяч вариантов и примерно 500 вариантов. Это сравнение показало, что использование псевдослучайных чисел вместе с кодированием вариантов даёт достаточно надёжный способ построения представительной выборки.

В качестве побочного результата на первом этапе мы получили оценки точности определения параметров. Так, ошибка определения плотности исследуемого пласта равна 1,2%, ошибка определения водородного индекса (он совпадает с величиной пористости, при полном заполнении пор пресной водой) 3,5%, ошибка определения диаметра колонны 0,6%, диаметра скважины 2,9%, плотности (или толщины) колонны 2,2%, выхода нейтронного генератора 0,3%.

Построение полиномов в многомерном пространстве.

При построении оптимального полинома, описывающего некоторую функциональную зависимость в многомерном пространстве параметров, возникает следующее противоречие. Чем больше параметров используется в полиноме, тем, с одной стороны, более высокой точности можно потенциально достичь, но, с другой стороны, тем сильнее на результат оказывают влияние ошибки входных данных.

Для того, чтобы снизить влияние ошибок входных данных необходимо использовать способы снижения числа обусловленности системы уравнений, которое является мерой влияния ошибок входных данных на результат вычисления.

Такими способами являются масштабирование и центрирование данных, выбор из них тех, которые максимально коррелируют с искомой величиной. Поскольку коэффициенты полинома получаются в результате решения системы уравнений, то одним из важнейших моментов в борьбе с влиянием ошибок входных данных на результат является выбор инструмента для решения системы уравнений.

Масштабирование входных данных.

Данные, которые будут использоваться для получения полиномов, описывающих функциональные зависимости, могут различаться на несколько порядков или единицами измерений. Такие интегральные величины, как общая интенсивность ГИНР или ГИРЗ измеряются величинами порядка десятков или сотен тысяч импульсов в секунду, в то время как отклики таких элементов, как, например, хлор измеряются величинами порядка десятых или сотых долей процента, а названные выше характерные длины измеряются величинами порядка десятка сантиметров.

Если такие величины окажутся рядом в одном полиноме, то малая доля ошибки одной величины полностью перекроет весь диапазон изменения другой величины. Масштабирование проводится с целью снижения влияния масштаба величин на процесс переноса ошибок.

Центрирование входных данных.

Для дальнейшего снижения влияния переноса ошибок входных данных на результат вычисления полиномов используется центрирование данных.

Смысл этой операции состоит в том, чтобы среднюю величину результата перенести в свободный член полинома и рассчитывать лишь отклонение от среднего.

Для этого для каждого входного данного вычисляется среднее или его робастный аналог медиана. Таким образом в систему уравнений для расчёта коэффициентов полинома входят разности между входными данными и их средними величинами.

Такой приём помогает дополнительно снизить число обусловленности системы уравнений, из которых определяются коэффициенты полиномов.

Использование корреляции входных данных.

Для снижения числа обусловленности названных уравнений полезно ограничиться лишь теми входными данными или их комбинациями, которые максимально коррелируют с искомой величиной, будь то переходной коэффициент или иная величина типа плотности, или диаметра скважины, которая полезна для получения конечных результатов обработки данных.

Для этого используются специально для этого разработанные процедуры, которые рассчитывают коэффициенты корреляции отношений входных величин с искомыми величинами. Отношения изображаются в виде матрицы, в которой выше диагонали расположены прямые отношения, а ниже диагонали обратные. Выбираются те из них, которые имеют максимальные коэффициенты корреляции. Процедура повторяется после того, как выявленное отношение включается в набор входных данных.

Сингулярное разложение матрицы, как инструмент для решения системы уравнений.

Коэффициенты полиномов естественно искать, решая переопределёную систему уравнений методом наименьших квадратов (МНК).

Для решения системы уравнений используют различные инструменты. От метода исключения Гаусса, в различных модификациях, до метода Холецкого. Но самым мощным инструментом, в том смысле, что он менее всего подвержен распространению ошибок, является метод сингулярного разложения матрицы (SVD).

Этот метод отличается наиболее последовательным применением ортогональных преобразований, которые, как известно, менее всего подвержены переносу ошибок. Это особенно важно при решении систем с большим числом уравнений. Важно ещё, что, таким образом, нам не нужно переходить к нормальным уравнениям, с помощью которых первоначально и строился МНК.

Ведь переход к нормальным уравнениям приводит к квадратичному росту числа обусловленности.

Использование факторного анализа.

Для оптимизации этой работы оказался особенно полезным факторный анализ. Матрица M, составленная из результатов предварительной обработки, разлагается методом SVD, то есть представляется в виде M=U*S*V^T, где U и V это ортогональные матрицы, S диагональная матрица, а знак T означает транспонирование.

Затем определяется ранг (r) приближённой матрицы M^~, и в диагональной матрице S (m x m) обнуляются m-r младших элементов. Приближённая матрица вычисляется с использованием вместо полной диагональной матрицы S её вариант после названного обнуления M^~=U*S_r*V^T.

Ранг приближённой матрицы должен быть близок к числу параметров задачи. Таким образом, указанное обнуление снижает влияние шума, связанного со статистическими ошибками входных данных.

Это позволило существенно упростить и стандартизовать получение искомых полиномов. Но главное преимущество, которое даёт факторный анализ, он снимает противоречие между большим числом входных данных и необходимостью снижения числа обусловленности.

Факторный анализ позволяет использовать все данные, а снижение числа обусловленности достигается с помощью выбора ранга приближённой матрицы, близкого к числу параметров задачи.

Это позволило существенно формализовать получение искомых полиномов. Хотя ошибки для некоторых полиномов при этом уменьшились (например, ошибки переходных коэффициентов для зоны скважинной жидкости), но для многих важных полиномов достигнутая ранее точность была потеряна.

Так, ошибка определения плотности пласта возросла до 9,7% (в 8 раз), плотности колонны до 6% (в 2,5 раза), диаметра колонны до 3,9% (6 раз), выхода генератора до 1% (в 3 раза), водородного индекса в 1,5 раза.

Дело в том, что в первом варианте факторного анализа, о котором идёт речь, использовались только величины, полученные в результате предварительной обработки. А до этого полиномы строились не только из таких величин, но в них использовались также и различные их комбинации.

Следующим шагом в адаптации факторного анализа были следующие изменения в наборе данных, поступающих на его вход. Многие величины были заменены их отношениями с тем, чтобы исключить их зависимость от единиц измерения и, например, от выхода генератора нейтронов. К этому времени увеличилось и общее число точек в ПГТП.

Таким образом, теперь задача факторизации сводится к трём наборам факторов.

Первый набор предназначен для того, чтобы дать начальное приближение для временного анализа, достаточно хорошее для того, чтобы можно было его ускорить, уменьшив необходимое число итераций.

Второй набор предназначен для того, чтобы по нему определить те параметры, которые при обработке данных каротажа, можно фильтровать. Это геометрические и другие параметры конструкции скважины и элементов, её составляющих.

Третий набор предназначен для определения переходных коэффициентов, а также водородного индекса, плотности и выхода нейтронного генератора.

Эта операция, которую можно считать некоторым наведением порядка в возникшем почти стихийно факторном анализе, позволила снизить ошибки полиномов.

Так, ошибка определения плотности пласта равна теперь 5,8% (всё ещё в 4,8 раза больше по сравнению с первоначальной оценкой, но в 1,7 раза меньше первой с использованием факторов), плотности колонны 4,2% (в 1,9 раза больше, но и уменьшение в 1,5 раза), диаметра колонны до 3,9% (6 раз), выхода генератора до 1,6% (в 3 раза), водородного индекса в 1,5 раза.

Применение корреляций на новом этапе.

Выше было сказано, что первоначально для построения полиномов выбирались те величины или их комбинации, которые максимально коррелировали с искомыми величинами.

Тот же принцип был применён и здесь. Только комбинации получаемых программой обработки величин добавляются не непосредственно в набор данных, которые используются в полиномах, а включаются в набор данных, использующихся для расчёта факторов.

В следующей таблице даны оценки погрешностей переходных коэффициентов. В нижней строке приведены средние по данной зоне.

Таблица 3.

Если сравнить с переходными коэффициентами, полученными с факторным анализом в его первоначальном виде, то видно, что принятые меры позволили получить выигрыш в точности по зоне C (скважинная жидкость) почти в 5 раз, по зоне D (обсадная колонна) почти в 3 раза, по зоне E почти ни какого выигрыша, по зоне F почти в 1,8 раза.

В следующей таблице в первом столбце даны первоначальные оценки ошибок, а во втором и третьем с применением факторного анализа.

Хотя первоначальные оценки получены для существенно меньшей генеральной совокупности, они приведены здесь из следующих соображений. Эти оценки получены в ходе работы, подобной изготовлению штучных изделий и потому почти недостижимого качества при массовом поточном производстве, каковым является метод с применением факторного анализа. Тем не менее они дают ориентир, на который можно равняться и к которому нужно стремиться.

Таблица 4.

По обучающему массиву получены полиномы для расчёта макроскопических параметров пласта и переходных элементов. С этими полиномами выполнена обработка данных проверочного массива.

В следующей таблице показаны результаты сравнения концентраций некоторых элементов и некоторых параметров пласта.

Таблица 5.

Величины, полученные в результате обработки, сравниваются с величинами заданными при расчёте. Для полученных массивов вычислены третья и первая квартили. Разность между квартилями умножена на 0,7413. Для нормального распределения такая величина равна среднеквадратичной ошибке. Эта величина приведена в таблице в качестве абсолютной ошибки. В качестве относительной ошибки взято частное от деления абсолютной ошибки на разность между максимальным и минимальным значениями заданными в расчётах.

Использование отношений переходных коэффициентов.

Из таблицы 3 можно видеть, что по большинству переходных коэффициентов получается более или менее приемлемая точность. Однако, по зоне E точность неприемлемо плохая, что грозит полностью обесценить всю систему минеральных уравнений. Эти переходные коэффициенты можно определить из той же системы минеральных уравнений, если добавить к ним уравнения, из которых будут находиться не содержания элементов (или минералов), а сами переходные коэффициенты. Выполненный эксперимент показал, что расширенная таким образом система уравнений становится практически вырожденной. Для стабилизации системы уравнений нужны дополнительные данные.

Для улучшения ситуации было предложено использовать помимо переходных коэффициентов их отношения. Был проделан эксперимент с определением отношений переходных коэффициентов для зоны E. Оказалось, что в отличие от самих переходных коэффициентов их отношения получаются со значительно меньшей ошибкой.

Так, с новым набором данных для факторного анализа, ошибки определения переходных коэффициентов для спектров ГИРЗ зоны цемента имеют порядок десятков процентов. См. следующую таблицу:

Ошибки же определения отношений в несколько раз меньше. См. следующую таблицу (в столбцах номера спектров числителя, в строках номера спектров знаменателя):

Из этого следует, что добавив к переходным коэффициентам их отношения, можно существенно улучшить их точность.

Этот факт стимулировал следующую работу. Программа, рассчитывающая коэффициенты полиномов, была оптимизирована с тем, чтобы значительно ускорить этот процесс. Были рассчитаны полиномы для всех 992 отношений (32*31).

Максимальное возможное улучшение точности получится, если использовать все эти отношения. Однако, многие отношения имеют слишком низкую точность. Это значит, что их использование почти не улучшает точность, но требует больших вычислительных ресурсов.

Поэтому с точки зрения эффективности не все эти отношения следует использовать. Одним из простейших подходов оказывается следующий. Все отношения можно разделить на три группы. Ошибка определения отношения может быть больше обеих ошибок, может быть меньше худшей, но больше лучшей и может быть меньше обеих. Если использовать только те отношения, которые имеют ошибку, меньшую, чем ошибка обоих отношений, то таких оказывается около 100 полиномов. В этом случае ошибки определения некоторых отношений достигают 20 процентов. Поэтому к тем отношениям были добавлены ещё порядка 100 полиномов.

В приведённой здесь таблице сравниваются ошибки определения переходных коэффициентов (в процентах) исходные (до добавления отношений) и получающиеся после добавления отношений. Как видно из таблицы, для большинства переходных коэффициентов ошибки снизились в несколько раз, а то и больше чем на порядок.

Коэффициенты, определявшиеся с неприемлемо большой ошибкой, теперь имеют точность чуть хуже одного процента. Только три коэффициента определяются с ошибкой более 4%. Только один коэффициент определяется с ошибкой более 5%.

Был выполнен следующий эксперимент. Приведёт ли дальнейшее добавление отношений к существенному снижению ошибок определения переходных коэффициентов.

Оказалось, что, если использовать около 400 отношений, происходит «переход количества в качество». В этом случае ошибки подавляющего большинства переходных коэффициентов не превышают половины процента. Ошибка лишь одного коэффициента оказывается на уровне 1,5%.

В следующей таблице сравниваются ошибки коэффициентов при использовании порядка 200 отношений и порядка 440 отношений.

Выше было сказано, что для выбора нужных отношений в качестве входных данных к тому или иному полиному, мы использовали вычисление коэффициентов корреляции. При этом полиномы оказывались, что называется «штучными». Получалось более 40 полиномов, каждый из которых построен индивидуально, что усложняет их встраивание в программу обработки, отладку и тестирование.

Теперь, как сказано выше, требуется встроить в программу обработки лишь три процедуры для вычисления факторов и три процедуры для вычисления полиномов.

Поэтому заново встаёт вопрос о добавлении ко входным данным отношений входных принципу максимальной их корреляции с искомыми функциями.

Это переходные коэффициенты и интегральные величины, необходимые для уравнений баланса. Это такие величины, как плотность породы, водородный индекс, параметры скважины и т.д.

Для дальнейшего снижения ошибок следовало устранить одну непоследовательность в разрабатываемой системе. Выше сказано, что первоначально разделение излучений ГИНР и ГИРЗ производилось по времени, прошедшему от рождения нейтрона, но оказалось, что целесообразно выполнять разделение так, как это делается в программе обработки результатов. То есть по результату анализа временного распределения.

Для устранения названной непоследовательности были выполнены дополнительные расчёты. В программу обработки добавлен вывод на экран коэффициента для вычитания ГИРЗ из ГИНР. Расчётные спектры обработаны программой и получены новые наборы стандартных спектров.

После этого рассчитаны новые факторы и новые полиномы для вычисления переходных коэффициентов и геолого-технических параметров. Например, ошибки тех переходных коэффициентов, которые были неприемлемо велики, снизились в разы.

Обсуждение и дальнейшая работа.

Как видно, почти по всем параметрам, кроме водородного индекса, применение факторного анализа привело к росту ошибок. Следует провести специальную работу, чтобы снизить ошибки определения таких параметров, как выход генератора и плотность пласта. Для этого следует использовать прежний опыт с тем, чтобы добавить на вход факторного анализа те комбинации параметров, которые использовались в полученных тогда «штучных» полиномах. Другая возможность снижения ошибок, может быть, состоит в том, что в некоторых первых полиномах использовались третьи степени, тогда как в новых используются степени не выше второй.

Тот факт, что применение факторного анализа привело к росту ошибок не должен обескураживать и вести к отказу от факторного анализа. «Штучные» полиномы не только трудоёмки при их получении, они требуют также значительно большей работы при встраивании их в программу обработки, при отладке и проверке правильности их работы.

К этому следует добавить, что все приведённые оценки не учитывают уменьшения ошибок, которое происходит в результате решения системы минеральных уравнений.

Такой эксперимент был выполнен с применением полиномов, полученных с факторным анализом в первой очереди до последней его модификации. Он показал, что, например, ошибка определения плотности снижается в полтора раза.

Приложение

Метрологическое обеспечение многопараметрического радиоактивного каротажа.

Введение.

Во ВНИИА ведётся разработка аппаратно-программного комплекса нового поколения для проведения многопараметрического радиоактивного каротажа нефтяных и газовых скважин (АПК МПРК).

Здесь идёт речь о его метрологическом обеспечении.

В России есть несколько полигонов с моделями пласта, пересечённого скважиной, которые предназначены для проверки работоспособности и калибровки скважинной аппаратуры.

Эти модели, в основном, соответствуют своему назначению.

Эти модели могли бы быть существенной частью метрологического обеспечения АПК. Однако, при попытке использовать их в качестве физической опоры для АПК МПРК, выяснилось, что ни одна из этих моделей не достаточно документирована для этой цели.

Имеются предварительные оценки точности определения некоторых параметров, определяемых по результатам обработки данных, получаемых в результате измерений амплитудных и временных спектров МПРК.

Сравнение этих предварительных оценок с ошибками, приводимыми в аттестатах на модели, показывает, что ни калибровка, ни поверка на имеющихся моделях не позволит подтвердить потенциальные возможности МПРК.

Приводимые в сертификатах значения пористости (с четырьмя значащими цифрами), полученные путём смешивания частиц песка различной крупности, не содержат оценок погрешности. Поскольку не принято никаких мер для исключения гравитационного разделения частиц разного размера, реальные величины пористости, скорее всего, не одинаковы в разных местах одной и той же модели и непостоянны во времени.

Можно согласиться, что средняя пористость данной модели определяется через общее количество воды, налитой в модель, но пористость, измеряемая скважинным прибором, имеющим малую глубинность, должна поверяться иным, более тонким и более надёжным способом.

В документации к моделям, имеющимся в нашем распоряжении, не достаточно информации для того, чтобы можно было корректно оценить доли спектра гамма-излучения, которые возникают в исследуемом пласте и отдельно в элементах конструкции скважины.

В документах к моделям нет информации, по которой можно было бы определить переходные коэффициенты для соответствующих пространственных зон или достаточно корректно имитировать соответствующие спектры.

В сертификатах к моделям, имеющимся в Раменском Метрологическом Центре, указаны макроскопические сечения пласта, которые противоречат результатам измерений. В сертификатах к моделям, имеющимся в Метрологическом Центре НТУ Груп (Бугульма), вообще нет результатов анализов, которые позволили бы определить макроскопические сечения. Ни в раменских ни в бугульминских сертификатах нет результатов анализов цемента, окружающего обсадную колонну, как нет и анализов состава колонны или анализа «водопроводной» воды, которая заливается в скважину.

Приводимые в сертификатах значения пористости (с четырьмя значащими цифрами), полученные путём смешивания частиц песка различной крупности, не содержат оценок погрешности. Поскольку не принято никаких мер для исключения гравитационного разделения частиц разного размера, реальные величины пористости, скорее всего, не одинаковы в разных местах одной и той же модели и непостоянны во времени.

Так, для того, чтобы в измеренном спектре гамма-излучения, возникающего при облучении пласта быстрыми и замедлившимися нейтронами, выделить ту его часть, которая возникает в исследуемом пласте, требуется корректно учесть ту, которая относится к взаимодействию названных нейтронов с ядрами атомов, входящих в элементы конструкции скважины. Наиболее точно даны лишь те параметры, которые позволяют узнать объём, занимаемый моделями в отведённом для них помещении.

Итак, в документации к моделям не приводится ни состав обсадной колонны, ни состав цемента, более того, в отличие от реальной скважины, в которой тампонажный цемент плотно прилегает к исследуемому пласту, в названных моделях он отделён от него по меньшей мере одной металлической трубой, которая, по техническим причинам, не прилегает к пласту. Таким образом, и названная дополнительная труба, и зазор между ней и пластом вносят искажения, как это очевидно специалисту.

Иначе говоря, ни одна из имеющихся моделей не позволяет построить метрологическую поверочную схему для оценки калибровочной ошибки, связанной с данной моделью.

Из сказанного следует, что для подтверждения точности результатов МПРК нужны модели нового поколения.

Требования к моделям нового поколения.

Почему же описанные выше недостатки модельных парков до сих пор не замечены и не устранены?

Потому, что до сих пор аппаратура, калибровавшаяся в моделях, не претендовала на достаточно высокую точность измерения соответствующих характеристик пласта.

Возникает вопрос, каков выход из описанного положения?

В настоящее время прогресс в знании сечений взаимодействия нейтронов и гамма-квантов ядрами и атомами большинства веществ обеспечивает достаточную точность для решения многих задач, а производительность вычислительной техники достигла такого уровня, что в большинстве случаев физическое моделирование можно заменить математическим.

Так, например, задачу проверки правильности названных выше процедур приведения к одной глубине теперь можно решать, моделируя каротажные измерения, полученные при движении скважинного прибора.

Теперь модели будут нужны не для настройки метрологического обеспечения, но для того, чтобы убедиться, что неточность знания сечений взаимодействия или пренебрежение какими-то деталями при моделировании не приводят к серьёзному расхождению с действительностью.

Поэтому необходимо некое минимальное количество моделей, более стабильных, более равномерных и более документированных. Такие модели будут опорой для математического моделирования. В них должны быть хорошо документированы не только сами пласты, но и состав цемента (цементного камня), обсадных труб и скважинной жидкости со всеми их геометрическими характеристиками.

Для того, чтобы избежать описанного выше нереального моделирования контакта между цементом и пластом, могут быть по меньшей мере три различных подхода. АПК МПРК нуждается в моделях, которые отличаются от описанных выше большей стабильностью и большей однородностью. Кроме того такие модели должны быть аттестованы ещё и по составу всех значимых для данной задачи химических элементов, входящих в состав не только моделируемого пласта, но и всех деталей конструкции скважины.

Значимые для данной задачи элементы, это, с одной стороны, те, без учёта которых сумма концентраций будет существенно отличаться от 100 процентов, с другой стороны это те элементы, без учёта которых макроскопическое сечение будет существенно отличаться от истинного.

Имеющиеся в нашем распоряжении насыпные модели не удовлетворяют требованиям однородности и стабильности. Поэтому возможны следующие подходы.

Первый подход. Модель собирается из положенных друг на друга различных горных пород, вырезанных в местах, где соответствующие породы выходят на поверхность, например, на крутых берегах рек или в каньонах. Требуется, чтобы вырезанный кусок пласта был доставлен к месту укладки целиком, не разрушенным, не повреждённым. Так, например, устроен модельный парк корпорации Шлюмберже.

Второй подход. Цемент, нагруженный добавками, необходимыми для того, чтобы приблизить его состав и макроскопические свойства к свойствам пород, типичных для нефтяной геофизики.

Сначала в приготовленный для этого колодец устанавливается вертикально обсадная труба, которая цементируется в специально изготовленной опалубке, потом, после полного затвердевания и снятия опалубки пространство вокруг модели скважины заливается слоями цементного раствора, нагруженного в каждом слое различными добавками с тем, чтобы в разных слоях получился различный состав и различная эквивалентная пористость. Каждый новый слой заливается только после окончательного затвердевания предыдущего слоя. Для изоляции слоёв друг от друга, а также пласта от цементного камня могут быть использованы тонкие, но прочные герметичные плёнки или лаки.

Цементный раствор как в обсадке, так и во всех слоях, моделирующих различные пласты, очевидно, перед заливкой должен быть тщательно перемешан.

Образцы обсадной трубы, цемента обсадки и цемента с добавками, моделирующего пласты, тщательно анализируются на все породообразующие и на все значимые для нейтронных методов элементы.

Третий подход.

В качестве модели пласта и цементного камня используются положенные друг на друга листы из лёгкого металла и пластмассы. Металл моделирует твёрдую фазу пласта, а пластмасса его флюид. В качестве металла может быть выбран силумин или алюминиево-магниевый сплав.

В качестве флюида оргстекло, полиэтилен или поливинилхлорид. Листы кладутся на хорошо выровненный фундамент. Примерное соотношение следующее. На каждые четыре листа силумина или алюминиево-магниевого сплава толщиной 3 мм, кладётся один лист полиэтилена такой же толщины.

Отверстия в листах должны быть зачищены от заусениц с тем, чтобы листы лежали плотно друг на друге. Материал должен быть проанализирован, помимо основных элементов, на бор, марганец и редкие земли такие, как гадолиний, европий и самарий.

Достоинством первого подхода состоит в том, что модель максимально адекватна тому, что имеется на практике.

При этом основные трудности состоят в том, чтобы некий кусок горной породы вырезать и доставить в модельный парк без разрушения. После того, как несколько таких пластов аккуратно уложены друг на друга, требуется пробурить обычную скважину, обсадить её обычной колонной и зацементировать обычным тампонажным цементом. Некоторые трудности, по видимому, связаны с тем, чтобы избежать появления трещин при укладке пластов друг на друга из-за наличия неровностей на горизонтальных поверхностях этих пластов.

Во избежание появления трещин следует чередовать пласты-коллекторы пластичными пластами, типа глинистых, как это и бывает природных условиях.

Единственным недостатком первого подхода является его дороговизна.

Второй и третий подходы, соответственно, позволяют решить задачу при более низких затратах. Но при этом ограничен выбор материалов, которые оставляли бы модели в том пространстве геолого-технических параметров, в котором должен работать АПК.