Е.М.Кадисов
Опровержение диагонального "доказательства" существования мощности континуума устраняет препятствие к воссоединению математиков
Аннотация
Математики всех мировоззрений объединяйтесь!
Известное диагональное доказательство (ДД) Георга Кантора с его "мощностью континуума" (МК) и континуум гипотезой (CH) раскололи математическое сообщество.
Математики, не принимающие МК, стали предлагать отличные от классических варианты оснований математики: финитизм, интуиционизм и конструктивизм.
С другой стороны, нам неизвестно ни одной попытки посмотреть, что за число получается в результате диагональной процедуры Георга Кантора. Оказывается, именно на этом пути лежит простое доказательство несостоятельности как самого диагонального доказательства, так и континуум-гипотезы. Поскольку результат диагонального процесса относится к последовательности, из которой он конструируется, как предел последовательности к самой последовательности.
Так как до сих пор попытки доказать или опровергнуть МК не имели успеха, предлагаемое опровержение ДД предоставит, наконец, математикам почву для воссоединения.
Ключевые слова.
Теория множеств Георга Кантора, счётные множества, несчётные множества, мощность континуума, действительные, рациональные, иррациональные и трансфинитные числа.
UDC 510.22.
Предисловие.
Известное диагональное доказательство (ДД) Георга Кантора, его "мощность континуума" (МК) и связанная с этим континуум-гипотеза (CH) раскололи математическое сообщество.
Дело в том, что доказательство Г.Кантора несчётности множества вещественных чисел основано на довольно простой и с виду убедительной процедуре. Предположим обратное (т.е. множество вещественных чисел счётно) и все вещественные числа расположим одно под другим в том порядке, в котором мы их пронумеровали (далее последовательность пронумерованных вещественных чисел - ПВЧ). Теперь составим число, выбирая из этих чисел цифры, расположенные на диагонали, и изменяя их. Очевидно, что новое число отличается от всех пронумерованных ранее (ЧОВПР). Из этого Г. Кантор делает, будто бы естественный вывод, что вещественных чисел слишком много, чтобы их можно было сопоставить с множеством натуральных чисел.
Но если принять МК, то необходимо принять и множество противоречий, которые с ней МК связаны. Рассмотрим лишь некоторые из них.
С одной стороны утверждается, что существуют множества (называемые несчётными) с таким количеством элементов, которые невозможно сосчитать, но не потому, что элементов бесконечно много. Так, бесконечно много натуральных чисел, но считается, что их можно сосчитать.
С другой стороны, хотя количество элементов в таких множествах сосчитать невозможно, вводятся специальные числа, которые соответстсвуют количеству элементов в несчётных множествах.
Более того, приходится принять, что такие числа (трансфинитные числа) образуют целую иерархию.
Но ведь ещё в античные времена было известно, что нет такого натурального числа, для которого не нашлось бы ещё большего. Как с этим согласовать существование трансфинитных чисел?
С подобными утверждениями не согласились многие математики, в том числе такие крупные как, например, Кронекер и Пуанкаре.
Математики, не принимающие МК, стали предлагать отличные от классических варианты оснований математики: финитизм, интуиционизм и конструктивизм.
Вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза (CH) Георга Кантора был поставлен Гильбертом в качестве первой проблемы оснований математики в 1900 году.
При одной из её формулировок CH предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества. Говоря иначе, всякое счётное множество бесконечно мало по сравнению с любым несчётным множеством.
Например, множество иррациональных чисел на каком-либо отрезке, поскольку оно несчётно, оказывается несравнимо больше счётного множества рациональных чисел на том же отрезке.
Попытки доказать или опровергнуть CH предпринимались и ранее. Гёдель (1940) доказал, что отрицание CH недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, а Коэн (1963) доказал, что CH недоказуема в ZFC.
Значит, ZFC и CH независимы друг от друга. Таким образом, с одной точки зрения CH (несмотря на все связанные с ней противоречия) следует добавить к системе аксиом.
Нам же представляется, что математической реальности более адекватна другая точка зрения. Та точка зрения, что первая проблема Гильберта осталась нерешённой. Значит, её решение следует искать на другом поле.
Одно из доказательств несостоятельности CH можно увидеть в работе профессора Зенкина (2000). Нам представляется, что сделано это недостаточно убедительно. Этот недостаток мы здесь и собираемся устранить.
Но прежде, чем приступить к этому, сделаем следующее замечание. Нам понадобится выбрать систему счисления. Если выбрать десятичную систему, то с помощью диагонального метода Кантора можно построить множество ЧОВПР. Выбирая двоичную систему, мы получим всего одно ЧОВПР. Уже один этот факт пополняет множество противоречий, вскользь упомянутых выше.
Вопрос о том, истинна ли континуум-гипотеза Кантора, не должен зависеть от системы счисления. Мы имеем право выбрать двоичную систему, поскольку она упрощает решение задачи. В упомянутой работе Зенкин также выбрал двоичную систему, но его способ доказательства приводит к бесконечной последовательности добавлений всё новых и новых ЧОВПР к ПВЧ, что в некоторой степени обеценивает его метод или, по крайней мере, делает его недостаточно убедительным.
Насколько нам известно, до сих пор никто не посмотрел, что же за число получается в результате диагональной процедуры Г. Кантора. Оказывается, идя по этому пути, довольно просто показать несостоятельность диагонального доказательства Георга Кантора и его CH.
Постановка задачи.
Докажем, что диагональная процедура Георга Кантора несостоятельна, и, следовательно, множество вещественных чисел счётно. Поскольку множество вещественных чисел состоит из множества рациональных и множества иррациональных чисел, тем самым мы докажем, что счётное множество вещественных больше несчётного множества иррациональных чисел. В результате получается противоречие, которое разрешается только в том случае, если континуум-гипотеза неверна, и несчётное множество (например, множество иррациональных чисел) вовсе не потому таково, что в нём слишком много элементов, чтобы их можно было считать, оно лишь плохо организовано для счёта.
Доказательство.
Мы будем пользоваться двоичной системой. Однако, нумеровать числа будем так, чтобы яснее показать несостоятельность диагонального доказательства Георга Кантора.
Для доказательства несчётности вещественных чисел Г. Кантор использовал интервал (0; 1). Для облегчения нашей задачи, мы расширим это множество, добавив в него левую границу, и, таким образом, будем рассматривать не интервал (0; 1), но полуинтервал [0;1). Итак, начнём наше доказательство.
Всякое вещественное число на полуинтервале [0;1) можно представить бесконечной двоичной дробью, в которой слева от точки находится нуль.
A = 0.a1a2a3a4a5...ai... (1)
Среди рассматриваемых чисел найдутся такие, в которых справа имеется бесконечная последовательность из нулей или единиц. Эти числа, естественно, могут быть записаны с конечным количеством значащих цифр и с необязательным добавлением справа нуля в скобках, означающим бесконечную последовательность нулей.
A = 0.a1a2a3a4a5...an(0) (2)
где двоичные знаки a1...an-1 могут принимать значения 0 или 1, а двоичный знак an только значение 1.
Вещественное число нуль сопоставим с числом нуль из множества натуральных чисел.
Сопоставление остальных чисел множества вещественных чисел с числами множества натуральных чисел начнём с числа, представленного одной значашей цифрой после двоичной точки. Это число: 0.1(0) или 0.1, которое мы и поставим в соответствие с натуральным числом 1.
Теперь переходим к числам, которые представлены двумя цифрами после двоичной точки. Таких чисел окажется 2: 0.01 и 0.11. Они получат номера 2 и 3.
Аналогичным образом пронумеруем числа с тремя цифрами после точки. Таких чисел будет 4: 0.001, 0.101, 0.011, 0.111. Они получат номера от 4 до 7.
Чисел с 4-мя цифрами после точки будет 8: 0.0001, 0.1001, 0.0101, 0.1101, 0.0011, 0.1011, 0.0111, 0.1111. Они получат номера от 8 до 15. После этого будем нумеровать числа с 5-ю, 6-ю, 7-ю и так далее значащими цифрами после точки.
Таким образом, номер числа A = 0.a1a2a3a4a5...ai... определяется следующим образом:
N = Σ∞i=1 ai*2i-1 (3)
Обратим внимание на последовательность чисел с номерами 2n-1. В этих числах сразу после точки имеется n единиц подряд. Таким образом, данная последовательность имеет в качестве предела число, равное 0.1111111111... или 0.(1).
Для дальнейшего выпишем несколько первых чисел из нашего списка.
0 - 0.000000000000000000
1 - 0.100000000000000000
2 - 0.010000000000000000
3 - 0.110000000000000000
4 - 0.001000000000000000
5 - 0.101000000000000000
6 - 0.011000000000000000
7 - 0.111000000000000000
8 - 0.000100000000000000
9 - 0.100100000000000000
10 0.010100000000000000
11 0.110100000000000000
12 0.001100000000000000
13 0.101100000000000000
14 0.011100000000000000
15 0.111100000000000000
В нашем списке мы не пропускаем ни одного числа с заданным количеством цифр. Следовательно, в пределе, когда список станет бесконечным, мы не пропустим ни одного числа и с бесконечным количеством цифр.
Теперь убедимся, что с помощью диагональной процедуры Георга Кантора мы получим число, которое есть в нашем списке, вопреки его утверждению об обратном.
В числах, находящихся в нашем списке, особо выделены цифры, стоящие на диагонали. Это те самые цифры, которые по методу Георга Кантора следует изменить, чтобы получить число, которого нет в нашем множестве.
Поскольку на диагонали только нули, то результатом диагонального метода Георга Кантора окажется число, в котором, справа от точки будет бесконечный ряд единиц: 0.1111111111... или 0.(1).
Но ведь это то самое число, которое является пределом упомянутой выше последовательности. Итак, в нашем списке мы не пропускаем ни одного вещественного числа, и число, полученное в результате диагональной процедуры, входит в наш список.
Что и требовалось доказать.
Обсуждение.
Итак, диагональную процедуру, с помощью которой Г. Кантор доказывает, что действительных чисел "больше", чем натуральных, нельзя использовать для этой цели.
А как быть с иррациональными числами? Похоже, что ту же диагональную процедуру, применённую для множества иррациональных чисел, опровергнуть не получится. Ведь для этого надо было бы их "посчитать" (построить биекцию их с натуральными числами).
Казалось бы, достаточно среди действительных чисел "пометить" рациональные, а оставшиеся пересчитать. Однако, это невозможно. Невозможно по нескольким причинам.
В той системе записи, в которой удобно считать рациональные числа, нет места иррациональным.
В тех системах счисления, в которых можно считать действительные числа, практически невозможно надёжно отличать рациональные от иррациональных.
Для этого, следует в бесконечной цепочке цифр, с помощью которой записано действительное число, проверить, есть ли в ней последовательность цифр, повторяющаяся бесконечное количество раз.
Для того, чтобы находить повторяющиеся последовательности цифр, надо знать их максимальную длину. Повторящаяся последовательность может быть какой угодно длины.
Таким образом, для проверки всего одного действительного числа потребуется бесконечно много времени. На проверку второго числа времени не останется.
Следовательно, невозможно опровергнуть диагональное доказательство Г. Кантора несчётности иррациональных чисел тем способом, каким мы опровегли его для действительных чисел.
В то же время легко показать противоречивость его теории. Поскольку несчётное множество иррациональных чисел является подмножеством счётного множества действительных чисел, несчётное множество вовсе не обязательно больше счётного.
Следовательно, мощность континуума и трансфинитные числа следует вынести в музейный зал научных заблуждений, в который ранее были вынесены такие объекты как теплород и эфир.
Сторонники справедливости континуум гипотезы и трансфинитных чисел могут оспорить данное доказательство, исходя из того, что мы можем назвать номера только для чисел, представленных в двоичной системе с конечным количеством единиц. Ведь для вычисления номера числа с бесконечным количеством единиц потребуется бесконечно много времени.
На это мы возразим следующим образом. Наши оппоненты в одних случаях принимают актуальную бесконечность, а когда она им мешает, её отвергают. Когда Г. Кантор в своём диагональном доказательстве нумерует числа с бесконечным количеством знаков, он опирается на актуальную бесконечность. Когда отвергают наше доказательство из-за бесконечно больших номеров, то неявно опираются на невозможность актуальной бесконечности.
Да. Infinitum actu non datur. Актуальной бесконечности не дано, и она не должна использоваться в таких точных науках, как математика. Ни в каких приложениях актуальная бесконечность не используется. Соответственно, ни в каких приложениях нет ни иррациональных чисел, ни трансцендентных. И сама диагональная процедура немыслима, если отвергается актуальная бесконечность. Актуальная бесконечность полезна как абстракция, в которой можно изучать свойства таких чисел.
Для иллюстрации противоречивости понятия бесконечности интересно усилить парадокс Галилея, который утверждает, что квадратов натуральных чисел ровно столько, сколько самих этих чисел. С этой целью вместо квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 .... n2, возьмём ряд: 1, 4, 27, 256, 3125, 46656, 823543, 16777216, 387420489, 10000000000 ... nn. Этих чисел по Кантору, если согласиться с его утверждением о равномощности счётных множеств, ровно столько, сколько натуральных чисел.
Ко всему этому можно добавить следующее. Как рушится утверждение, что иррациональных чисел "больше", чем рациональных, так, одновременно с этим, рушится утверждение, что трансцендентных чисел "больше", чем алгебраических.
Названное выше противоречие с бесконечными номерами разрешается, если вспомнить определение действительного (вещественного) числа по Г. Кантору как предела последовательности рациональных чисел - последовательности Коши или фундаментальной последовательности.
Легко видеть, что для любого вещественного числа из полуинтервала [0;1), найдётся сходящаяся к данному вещественному числу последовательность чисел, имеющихся в предлагаемом списке.
С другой стороны, можно показать некоторые свойства функций N = f(R) и R = g(N), определяющих взаимно однозначное соответствие (биекцию) множеств действительных и натуральных чисел. Допустим, мы хотим определить число, следующее по номеру за числом π/4. Это будет число равное π/4-0.5. Если взять π/8, то следующее за ним число оказывается равным π/8+0.5.
Итак, мы показали, что диагональную процедуру Георга Кантора некорректно использовать для доказательства несчётности вещественных (действительных) чисел. Она не в состоянии доказать, что действительных чисел "больше" чем чисел натуральных. Множество действительных (вещественных) чисел счётно.
Выводы.
Континуум-гипотеза несостоятельна. Диагональную процедуру некорректно использовать для доказательства несчётности вещественных чисел. Мощность континуума не отличается от мощности множества натуральных чисел. Несчётное множество таково не потому, что содержит слишком много элементов, оно лишь плохо организовано для счёта. Следовательно, нет оснований для иерархии мощностей и трансфинитных чисел. Из математики надо выбросить такие понятия, как континуум и трансфинитные числа. Следовательно, нет причин для раскола по вопросам оснований математики. Наоборот, есть почва для объединения математиков всех воззрений. Поскольку система аксиом ZFC не противоречит континуум-гипотезе и трансфинитным числам, математики уже объединёнными усилиями либо должны доработать эту систему аксиом, либо разработать другую систему, более адекватную математической реальности.
Благодарности
Автор приносит искреннюю благодарность Александру Николаевичу Маслову, Валдису Валевичу Эгле, Максиму Валентиновичу Макарову, моей одногруппнице Юлии Георгиевне Костылёвой, а также моей жене Маргарите Васильевне Кадисовой за полезные обсуждения данной работы.
Литература.
Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.
Кантор Г. Труды по теории множеств. М., Наука, 1985.
Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.
Gödel, K. (1940). The Consistency of the Continuum-Hypothesis. Princeton University Press.
Cohen, Paul J. (December 15, 1963). "The Independence of the Continuum Hypothesis". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50(6).
А.А.Зенкин, "Ошибка Георга Кантора". Вопросы философии, 2000, No. 2, 165-168.